遊星歯車条件が成立する歯数の算出方法

遊星歯車を設計するときには、特定の条件を満たす歯数の組み合わせを見つける必要があります。具体的には、「等配条件」（ピニオンを円周等間隔に配置する条件）や「同軸条件」（リングギヤ、サンギヤ、キャリヤの回転中心が同軸になる条件）などの制約があります。これらの条件を満たす歯数の組み合わせを見つけるためには、合理的な計算方法が必要です。

多くの遊星歯車は「シングルピニオンまたはダブルピニオンの等配条件」＋「同軸条件」＋「隣接条件」を考慮する必要があります。また、ラビニヨ方式の場合は、「シングルピニオン、ダブルピニオン、ダブルサンギヤの条件」＋「同軸条件」＋「隣接条件」を考慮します。

これらの式をすべて連立させると複雑になるため、「等配条件」と「同軸条件」に注目した歯数の組み合わせの一覧を作成します。その後、必要な条件に合うものを選別することにします。この過程では、未知数が方程式の数よりも多い「不定方程式」が生じます。しかし、解が歯数である場合は整数解であり、取り得る歯数の範囲によって解を列挙することができます。

具体的には、遊星歯車の歯数組み合わせの算出は、一般的に「1次不定方程式(ax + by = c)の整数解を求める」問題に帰着します。この内容は高校の数学Aで学ぶことができるものです。要するに、歯数の条件を整数解として求める問題となります。

この問題の解法は、次の手順です。

満足する解を一つ見つける（特解）
見つけた解で一般解を構成する

ひとまずやってみましょう。

手順

遊星歯車の等配条件
$Z_r+Z_s=X\cdot n・・・(1)$
同軸条件（幾何学条件）
$Z_r-Z_s=2Z_p・・・(2)$
ここで
$Z_r:$ リングギヤ歯数
$Z_s:$ サンギヤ歯数
$Z_p:$ ピニオン歯数
$n:$ ピニオン個数
$X:$ 整数

(1)式、(2)式を辺々加えて次式を得ます。
$2Z_r=X\cdot n +2Z_p・・・(3)$

ここでピニオン歯数 $Z_p15$ 、ピニオン個数 $n20$ とします。よって
$Zp=15,n=20$
(3)式に代入すると
$2Z_r=X\cdot 20+2\cdot 15 \\-20X+2Z_r=30\\-10X+Z_r=15・・・(4)$
（4）式は、2つの未知数を含むので不定方程式です。

これを解くには(4)式の解を、一組考えます。すると $Zr=25、X=1$ が思いついたとして一般解を求めます。
(4)式を
$a*X +b*Z_r = c・・・(5)$
と表した時、Zr=25、X=1を代入すると次式を得ます。
$a*1 +b*25 = c・・・(6)$
(6)式から(5)式を辺々差し引いて
$a(1-X)+b(25-Zr)=0・・・(7)$

(7)式が常に成り立つには
$-a(1-X)=b(25-Zr)・・・(8)$
(8)式の両辺が等しいことから
$b=(1-X),-a=(25-Zr)・・・(9)$
であり、その整数倍も解となるので、tを整数としたときに
$-at=(25-Zr)・・・(10)$
$bt=(1-X)・・・(11)$
が成り立ちます。