経緯
「CADで危険断面位置と歯形係数を求める」では、実際の歯の形から、必要な寸法を計測して歯形係数を求めました。設計実務では、このような図形処理ではなく数値処理で求めるのですが、その内容を紹介します。
利用する歯形係数計算式
計算式の記載ある資料
金属歯車用の強度計算式のうち、歯形係数計算式が記載されているのは、国内に限ると以下の２つが挙げられます。
- 日本歯車工業会JGMA401
- 日本歯車工業会JGMA6101
プラスチック歯車では、次の資料に歯形係数計算式が載っています。
- JIS B1759-2019 プラスチック円筒歯車の曲げ強さ評価方法
金属歯車用なので、ふさわしいのはJGMA401か、JGMA6101です。自分もこちらを使っているのですが、資料が市販品のため、プログラム部を公開するのは問題がありそうです。
いっぽう、プラスチック用JIS B 1759は、ネットで閲覧可能なので、こちらを利用することにします。
kikakurui.com
また、以下のサイトで詳細に解析されていますから、中身を知りたい方はお勧めです。
opeo.jp
JGMAとJISB1759の歯形係数の違い
両者は、「かみ合い率」の補正項の入れ方がことなります。これについて若干の説明をしましょう。
「かみ合い率」は平歯車では1以上2未満のような値を取ります。かみ合い長さと法線ピッチの比ですから、1歯だけを見ると、かみ合い率1.6を例にとると、1かみ合い長さが法線ピッチの1.6倍です。
次に先行する歯も同様に1かみ合い長さで1.6法線ピッチあり、1ピッチ先行するので0.6ピッチ重なります。
今度は後続する歯を見ると1ピッチ遅れるので、現行歯とは0.6ピッチ重なります。
つまりかみ合い率1.6の歯は、先行歯と0.6ピッチ、後続歯と0.6ピッチ重なるので、どことも重ならないのは1.6-0.6-0.6＝0.4ピッチです。
言い換えると、かみ合い率1.6の歯車は、前後0.6ずつが2歯でかみ合い、残り0.4が1歯でかみ合います。
それでは、強度で問題になるのはどう言う状況かというと
歯先に荷重を受けると、モーメントが最大になるが
歯先は前後の2歯で分担するので、それぞれの歯の先端荷重は1/2になる
という理由で歯先荷重は最悪負荷条件ではないのです。
最悪荷重条件となるのは、１歯かみ合い中でもっともモーメントが大きくなる点、すなわち１歯かみ合いの最外側点です。
この認識は一般的なのですが、計算への反映の仕方が、歯車規格毎に異なります。
| 計算式 | 歯形係数 | 補正項 |
| JGMA401,6101 | 歯先荷重 | あり |
| JIS B 1759 | 一歯最悪荷重 | なし |
つまり、JIS B 1957は歯形係数を最悪荷重点で計算し、JGMAは歯形係数は歯先で計算してから、「かみ合い率係数」という補正項を加算します。
使用ツール
誰もがお手軽に計算できるように、Excel VBAを使いました。みなさんが自分でインターフェースを工夫されることを期待して、ここでは素のVBAだけを紹介します。
Excel「開発」「VisualBasic」で「モジュール」を挿入し、次のVBAを貼り付けて、singleCaseMain関数またはmultiCaseMain関数を実行させます
ツールバーに「開発」がない場合は、「オプション」「リボンのユーザー設定」で「開発」をリボンに表示させます。
JIS B 1759の計算式
以下にJIS B 1759に記載されている計算式をVBAに置きなおしたものです。
1行目のE式の右辺第3項が「-1(-sin(an))」というのはJISのミスプリントで、正しくは「-(1-sin(an))」です。
'JIS B 1759オリジナル E = pi / 4 - hfp * Tan(an) - 1(- Sin(an)) * ro / Cos(an) ---誤 G = ro / mn - hfp / mn + x H = 2 / zn * (pi / 2 - E / mn) - pi / 3 '次式をθについて解く th = 2 * G / zn * Tan(θ) - H '一歯かみ合いの外側径入力値 den =(略) '一歯かみ合いの外側入力荷重角度 afen =(略) '一歯かみ合いの外側入力値 Ye =(略) '危険断面幅 sfn = (zn * Sin(pi / 3 - th) + Sqr(3) * (G / Cos(th) - ro / mn)) * mn '作用点までの腕の長さ hfe = 1 / 2 * ((Cos(Ye) - Sin(Ye) * Tan(afen)) * den / mn - zn * Cos(pi / 3 - th) - (G / Cos(th) - ro / mn)) '#歯形係数 yf = (6 * hfe/mn * Cos(αFen)) / ((sfn/mn * sfn/mn) * Cos(wt))
作成したVBAプログラム
単発計算部 sub singleCaseMain()
1セットの諸元問い合わせに対して、その歯形係数を計算して表示します。
ユーザはエディタで次の諸元を変更して、実行します。
zn = 20 '歯数
an = 20 '圧力角
x = 0# '転位係数
hk = 1 '歯末のたけ(mnで規格化)
hfp = 1.25 '歯元のたけ(mnで規格化)
ro = 0.375 'ラック歯先の丸み(mnで規
「CADで危険断面位置と断面係数を求める」で、実測値と理論値の比較をしてきましが、ここでは理論値同士の比較をやってみましょう。
上記諸元結果
| 項目 | 今回理論値 | 前回理論値 |
| 危険断面厚さ | 1.9440374 | 1.9438910 |
| 作用点までの長さ | 1.9071318 | 1.9071201 |
| 歯形係数 | 2.804039 | 2.804444 |
差は0.014%なので、まったく問題ありません。
複数計算部 sub multiCaseMain()
よくある歯形係数グラフ作成用です。
an,hk,hfp,roを固定して、転位係数x16水準、歯数zn31水準をすべて計算して、結果を表として「sheet1」に出力します。
表の1行目は歯数ですが、2行目は歯数の逆数になっています。これは、歯形係数グラフの横軸を歯数の逆数にしている例が多いため、それに合わせたものです。
グラフは、転位係数をパラメータとした歯数・歯形係数のxy図で作成し、歯数の逆数を横軸に取って、縦軸の範囲を1.8～3.8に設定します。グラフの横軸目盛を反転させると曲線部分は完成ですが、横軸目盛ラベルは歯数の逆数になっています。ここのラベルとしては元の歯数を使うべきですが、Excelでは目盛の差し替えができませんでした。
それでもできるだけ合わせこんで、以前作成した歯形係数グラフと比較したのが下図です。グラフを重ねるとぴったり一致するので、全領域計算は合っているようです。
歯形係数計算部 private function toothFormFactor()
オリジナルに対して次を変更しました。
求めたいのは、次式を満足するθなのですが、右辺にtanθが含まれるため、解析的には求めらえません。
こういう場合に使うのは二分法とかニュートンラフソン法です。なかでもニュートンラフソン法は収束が早く、今回の例でも数回の繰り返しで収束します。
- 応力集中係数は割愛
「CADで危険断面位置と断面係数を求める」で求めたレベルの歯形係数に留めました。
ソースコード全文
Option Explicit 'deg-rad変換 Private Function radians(v) radians = v * WorksheetFunction.pi() / 180 End Function 'rad-deg変換 Private Function degrees(v) degrees = v / WorksheetFunction.pi() * 180 End Function 'inv関数 Private Function inv(v) inv = Tan(v) - v End Function '単発計算用 Sub singleCaseMain() Dim mn#, zn#, an#, ro# Dim hfp#, x#, hk#, yf# '諸元入力 mn = 1 '歯直角モジュール zn = 20 '歯数 an = 20 '圧力角 x = 0# '転位係数 hk = 1 '歯末のたけ(mnで規格化) hfp = 1.25 '歯元のたけ(mnで規格化) ro = 0.375 'ラック歯先の丸み(mnで規 '歯形係数計算 yf = toothFormFactor(mn, zn, an, x, hk, hfp, ro) Debug.Print yf End Sub '歯数-転位係数グラフのための作表 Sub mutiCaseMain() Dim z_array Dim x_array Dim sht '"sheet1"シートがないとエラー Set sht = Sheets("sheet1") sht.Range("A1:AZ100").ClearContents '転位係数配列 x_array = Array(-0.5, -0.4, -0.3, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, _ 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1#) '歯数配列 z_array = Array(6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, _ 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, _ 180, 190, 200, 400, 1000) '歯数と転位係数の組み合わせ計算 Dim x_idx%, z_idx%, x#, z#, yf# For x_idx = LBound(x_array) To UBound(x_array) '転位係数見出し sht.Cells(x_idx + 3, 1) = x_array(x_idx) For z_idx = LBound(z_array) To UBound(z_array) If x_idx = 1 Then ' 歯数見出し sht.Cells(1, z_idx + 2) = z_array(z_idx) sht.Cells(2, z_idx + 2) = 1 / z_array(z_idx) End If x = x_array(x_idx) z = z_array(z_idx) ' 歯形係数計算 yf = toothFormFactor(1, z, 20, x, 1#, 1.25, 0.375) 'シート記載 sht.Cells(x_idx + 3, z_idx + 2) = yf Next Next End Sub '歯形係数計算 Private Function toothFormFactor(mn#, zn#, an#, x#, hk#, hfp#, ro#) Dim E#, H#, G# Dim th#, thNew# Dim F#, df# Dim pi# pi = WorksheetFunction.pi() an = radians(an) ' ラック歯先の丸み中心x位置 E = (pi / 4 - hfp * Tan(an) - (1 - Sin(an)) * ro / Cos(an)) * mn ' ラック歯先の丸み中心y位置 G = (ro - hfp + x) H = (2 / zn * (pi / 2 - E / mn) - pi / 3) 'NewtonRaphson法で30°接線を求める Dim N! th = pi / 6 '角度初期値 thNew = 0 '角度更新値 N = 0 Do While (N < 10) '目的関数 F = 2 * G / zn * Tan(th) - H - th '1次導関数 df = 2 * G / zn * (Tan(th) ^ 2 + 1) - 1 'NewtonRaphson法 thNew = th - F / df '収束したらループ抜ける If Abs(thNew - th) < 0.000001 Then Exit Do '収束しない場合は値を更新してループ Else th = thNew End If N = N + 1 Loop '30°接線となる角度th th = thNew '以降は 'JIS B 1759の歯形係数は、一歯かみ合い領域の最外側で荷重負荷を考える 'JGMAの歯形係数は、二歯かみ合いの歯先荷重負荷で、かみ合い率は補正項で考慮する 'このプログラムは、30°接線位置の算出にJIS B 1759記載の計算方法を利用したが、 '荷重負荷は、歯先方式とする。 Dim AK#, Delta#, anf#, da# ' 歯先圧力角 AK = WorksheetFunction.Acos(zn * Cos(an) / (zn + 2 * (hk + x))) ' 歯先歯厚角の1/2 Delta = 1 / zn * (pi / 2 + 2 * x * Tan(an)) + inv(an) - inv(AK) ' 歯直角歯先荷重角 anf = AK - Delta ' 歯先径 da = (zn + 2 * (hk + x)) * mn Dim sfn#, hfe#, Ye#, den#, afen# ' den 相当平歯車の一歯かみ合い領域の歯先側の点を通る円の直径（mm） 'γe ：相当平歯車の一歯かみ合い領域の歯先側の点の角度（値表示は°，計算はrad） '一歯かみ合いの外側径入力値に、歯先径を代入 den = da '一歯かみ合いの外側入力荷重角度に、歯先への荷重角度代入 afen = anf '一歯かみ合いの外側入力値に、歯先歯厚の半角を代入 Ye = Delta '危険断面幅：規格化したro使用 sfn = (zn * Sin(pi / 3 - th) + Sqr(3) * (G / Cos(th) - ro)) '作用点までの腕の長さ：規格化したro使用 hfe = 1 / 2 * ((Cos(Ye) - Sin(Ye) * Tan(afen)) * den / mn - _ zn * Cos(pi / 3 - th) - (G / Cos(th) - ro)) 'Debug.Print "危険断面幅"; , sfn * mn, "作用点までの腕の長さ：", hfe * mn; "" '#歯形係数 Dim yf# yf = (6 * hfe * Cos(anf)) / ((sfn * sfn) * Cos(an)) 'Debug.Print "歯形係数", yf toothFormFactor = yf End Function
